Tổng hợp lý thuyết đại cương về dao động điều hòa - Vật Lý 12

Nội dung Vật lý 12 chủ đề Đại cương về dao động điều hòa giúp học sinh nắm được các khái niệm về dao động cơ, dao động tuần hoàn, dao động điều hòa. Từ đó có thể viết phương trình dao động điều hòa xác định các đại lượng vectơ vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa. Hiểu thêm bài học này bằng cách theo dõi bài viết bên dưới.

Tổng hợp lý thuyết đại cương về dao động điều hòa

{tocify} $title={Xem nhanh}

I. Khái niệm

- Dao động cơ: chuyển động của vật quanh vị trí cân bằng xác định

- Dao động tuần hoàn: Chuyển động của vật được lặp lại sau những thời gian xác định quanh vị trí cân bằng.

- Dao động điều hòa: Chuyển động của vât mà li độ được biểu diễn bởi hàm Sin hoặc Cosin theo thời gian.

II. Các đại lượng đặc trưng trong dao động điều hòa

Dạng tổng quát của dao động điều hòa (dđđh) $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$ trong đó là các hằng số

1. Li độ: Kí hiệu $x$, đơn vị $mm,cm,m...$Là độ dời của vật khỏi vị trí cân bằng (vtcb).

2. Biên độ: Kí hiệu $A$, đơn vị $mm,cm,m...$Là giới hạn miền không gian chuyển động của vật

$A=\,\,|x{{|}_{\max }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( A>0 \right).$

3. Tần số góc: Kí hiệu $\omega $, đơn vị $rad/s$

$\omega =2\pi f=\dfrac{2\pi }{T}$

4. Chu kì dao động: Kí hiệu T, đơn vị $s$(giây). Khoảng thời gian ngắn nhất vật thực hiện một dao động toàn phần (thời gian ngắn nhất vật lập lại dao động như cũ)

$T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi }{\omega }$ ; $T=\dfrac{\Delta t}{N}$ (Trong đó: N là số dao động trong khoảng thời gian $\Delta t)$

5. Tần số dao động: Kí hiệu $f$, đơn vị $Hz$. Số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây

$f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega }{2\pi }$

6. Pha dao động: Kí hiệu $\omega t+\varphi $, đơn vị $rad$

Pha ban đầu: $\varphi $ pha dao động ứng với thời điểm ban đầu, gốc thời gian, thời điểm $t=0$

III. Phương trình dao động điều hòa

1. Phương trình (biểu thức) li độ: $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right)$Các đại lượng $A,\,\,\omega ,\,\varphi $ được định nghĩa như phần trên

- Chiều dài quỹ đạo: $L=2A$

- Quãng đường vật đi trong một chu kì: $S=4A$

- Quãng đường vật đi trong một nửa chu kì: $S=2A$

2. Phương trình (biểu thức) vận tốc: $v=x'=-A\omega \sin \left( \omega t+\varphi \right)$

Vận tốc tức thời được xác định bởi $v=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\Delta S}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=x'=\left( A\cos \left( \omega t+\varphi \right) \right)'=-A\omega \sin \left( \omega t+\varphi \right)$

- Giá trị vận tốc cực đại: $|v{{|}_{\max }}=A\omega \,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\sin \left( \omega t+\varphi \right)=\pm 1\,\,\,\,\,\Rightarrow \cos \left( \omega t+\varphi \right)=0\,\,\,\,\,\Rightarrow x=0\,\,\,\,\left( vtcb \right)$.

- Giá trị vận tốc cực tiểu: $|v{{|}_{\min }}=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\sin \left( \omega t+\varphi \right)=0\,\,\,\,\,\Rightarrow \cos \left( \omega t+\varphi \right)=\pm 1\,\,\,\,\,\Rightarrow x=\pm A\,\,\,\,\left( vtb \right)$.

- Vận tốc trung bình: ${{v}_{tb}}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}$, $\Delta x$ là độ dời của vật trong khoảng thời gian $\Delta t$.

- Tốc độ trung bình: $\bar{v}=\dfrac{S}{\Delta t}=\dfrac{S}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}}$, $S$ là độ dời của vật trong khoảng thời gian $\Delta t$.

Chú ý: - Dấu âm (-) trong biểu thức thể hiện chiều chuyển động của vật

o Chuyển động theo chiều dương $v>0$

o Chuyển động theo chiều dương $v<0$

Trong một chu kì (1T)

- Vận tốc trung bình ${{v}_{tb}}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{T}=\dfrac{0}{T}=0$ vì ${{x}_{1}}\equiv {{x}_{2}}$ - Tốc độ trung bình $\bar{v}=\dfrac{S}{\Delta t}=\dfrac{4A}{T}$

3. Phương trình (biểu thức) gia tốc: $a=v'=-A{{\omega }^{2}}\cos \left( \omega t+\varphi \right)=-{{\omega }^{2}}x$

Gia tốc tức thời được xác định bởi $v=\underset{\Delta t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=v'=\left( -A\omega \sin \left( \omega t+\varphi \right) \right)'=-{{\omega }^{2}}A\cos \left( \omega t+\varphi \right)=-{{\omega }^{2}}x$

- Giá trị gia tốc cực đại: $|a{{|}_{\max }}=A{{\omega }^{2}}\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\cos \left( \omega t+\varphi \right)=\pm 1\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=A\pm \,\,\,\,\left( vtb \right)$.

- Giá trị gia tốc cực tiểu: $|a{{|}_{\min }}=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\cos \left( \omega t+\varphi \right)=0\,\,\,\,\,\,\Rightarrow x=0\,\,\,\left( vtcb \right)$.

Chú ý: - $\overrightarrow{a}$ luôn hướng về vtcb

- Dấu ấm (-) hoặc (+) thể hiện chiều của gia tốc

Hệ thức liên hệ (Công thức độc lập).

Mối liên hệ giữa li độ, vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa

${{A}^{2}}={{x}^{2}}+{{\left( \dfrac{v}{\omega } \right)}^{2}}={{\left( -\dfrac{a}{{{\omega }^{2}}} \right)}^{2}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}\,\,\,=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\dfrac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}$ với $\left( a=-{{\omega }^{2}}x \right)$

4. Độ lệch pha

Cho 2 dao động điều hòa ${{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{1}} \right)$ và ${{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \left( \omega t+{{\varphi }_{2}} \right)$, độ lệch pha của ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ được ký hiệu là $\Delta \varphi $ và được tính như sau $\Delta \varphi ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}$

- Nếu $\Delta \varphi >0$ ta nói ${{x}_{2}}$sớm pha hơn ${{x}_{1}}$ một góc đúng bằng $\Delta \varphi $

- Nếu $\Delta \varphi <0$ ta nói ${{x}_{2}}$trễ pha hơn ${{x}_{1}}$ một góc đúng bằng $\Delta \varphi $

- Nếu $\Delta \varphi =0$ ta nói ${{x}_{2}}$cùng pha với ${{x}_{1}}$

Chú ý: - $\Delta \varphi =\dfrac{\pi }{2}+k\pi $: Hai dao động được gọi là vuông pha với nhau

- $\Delta \varphi =\pi +k2\pi $: Hai dao động được gọi là ngược pha với nhau

- $\Delta \varphi =0+k2\pi $: Hai dao động được gọi là cùng pha với nhau

Từ: $x=A\cos \left( \omega t+\varphi \right),\,\,v=-A\omega \sin \left( \omega t+\varphi \right)=A\omega \cos \left( \omega t+\varphi +\dfrac{\pi }{2} \right),\,\,$

$a=-A{{\omega }^{2}}\cos \left( \omega t+\varphi \right)=A{{\omega }^{2}}\cos \left( \omega t+\varphi +\pi \right)$

Ta có:

- Vận tốc sớm pha hơn li độ một góc $\dfrac{\pi }{2}$

- Gia tốc sớm pha hơn li độ một góc $\pi $

- Gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc $\dfrac{\pi }{2}$

5. Lực kéo về

Lực kéo về là lực có xư hướng đưa vật về vị trí cân bằng ${{F}_{kv}}=-m{{\omega }^{2}}x$

Giá trị lực kéo về cực đại: ${{\left| {{F}_{kv}} \right|}_{\max }}=m{{\omega }^{2}}A$ tại vị trí biên $x=\pm A$

Giá trị lực kéo về cực tiểu: ${{\left| {{F}_{kv}} \right|}_{\min }}=0$ tại vị trí cân bằng $x=0$

Lực kéo về có chiều luôn hướng về vị trí cân bằng, và đổi chiều tại vị trí cân bằng

6. Năng lượng của giao động điều hòa

a. Thế năng: Kí hiệu: ${{W}_{t}}$, đơn vị $J$

${{\text{W}}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}co{{s}^{2}}(\omega t+\varphi )$

- Thế năng cực đại: ${{W}_{t}}_{_{\max }}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,cos(\omega t+\varphi )=\pm 1\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x=\pm A\,\,\,(vtb)$

- Thế năng cực tiểu: ${{W}_{t}}_{_{\min }}=0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,cos(\omega t+\varphi )=0\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x=0\,\,\,(vtcb)$

b. Động năng: Kí hiệu: ${{W}_{d}}$, đơn vị $J$

${{\text{W}}_{}}=\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\text{si}{{\text{n}}^{2}}(\omega t+\varphi )$

- Động năng cực đại: \[{{\text{W}}_{}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\,\Leftrightarrow \,\,\text{sin}\left( \omega t+\varphi \right)=\pm 1\,\,\Leftrightarrow \,\,\text{cos}\left( \omega t+\varphi \right)=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,x=0\,\,\left( vtcb \right)\]

- Động năng cực tiểu: \[{{\text{W}}_{}}=0\,\Leftrightarrow \,\,\text{sin}\left( \omega t+\varphi \right)=0\,\,\Leftrightarrow \,\,\text{cos}\left( \omega t+\varphi \right)=\pm 1\,\,\,\Leftrightarrow \,\,x=\pm A\,\,\left( vtb \right)\]

c. Cơ năng: Kí hiệu: $W$, đơn vị $J$

$W={{W}_{}}+{{W}_{t}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{x}^{2}}+\dfrac{1}{2}m{{v}^{2}}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right)+{{\sin }^{2}}\left( \omega t+\varphi \right) \right) $

$W=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}={{W}_{{{t}_{\max }}}}={{W}_{{{}_{đ\max }}}}=const$

Chú ý:

- Vị trí của vật khi động năng bằng n lần thế năng ${{w}_{d}}=n{{w}_{t}}\to x=\pm \dfrac{A}{\sqrt{n+1}}$

- Động năng và thế năng biến thiên với tần số góc $2 \omega$, tần số $2f$, chu kỳ $\dfrac{T}{2}$